对称曲线边墙窄缝挑坎的体型设计方法

窄缝挑坎是一种典型的消能工，国内外都进行了研究，取得了不少的成果，至少有20几个水利水电工程采用了窄缝消能技术.但到目前为止，尚无成熟的体型设计方法.直线边墙窄缝挑坎虽体型简单，便于施工，但它产生强烈的冲击波.东江^[１]等水电站通过实验研究成功地采用二级直线边墙收缩来降低冲击波的强度.事实上当直线边墙收缩级数很大时就是曲线边墙，最简单的边墙曲线为共轭圆弧，缺点是水面产生很大的变形^[２].文献[3]中，作者根据辐射水流特性提出了窄缝挑坎体型设计原理，应用常规的冲击波简化式，采用试算迭代法计算挑坎体型；文献[4]中，作者通过理论分析、试验对比得到新的冲击波简化式及冲击波简化积分式，其精度、适用范围与经典冲击波理论基本一致.本文应用这个原理，根据新的冲击波简化式，直接推导曲线反射扰动线方程，探讨无需试算迭代的对称曲线窄缝挑坎体型设计方法.

1 辐射收缩角的计算方法

为便于分析，本文采用文献[2]的方法将特征线按直线对待，在特征线上水深、流速等水力参数值不变.

来流为均匀流，佛汝德数Fr₁,水深h₁及断面宽度b₁已知，忽略摩阻，按平底情况进行分析.如图1所示，由于边墙曲线对称，对称轴可作为固定边墙处理，从收缩段起点A₀产生直线扰动线，交对称轴于S₀点，反射形成的曲线扰动线交边墙曲线W点，这也是窄缝挑坎的出口.现要求S₀W扰动线下游的区域为辐射水流，辐射中心为O点，理想的出口断面在平面上的投影是以O点为中心通过W点的圆弧曲线，这样，出口断面上的佛汝德数Fr₂及水深h₂等水力参数值不变.

冲击波简化积分式为^[４]

(1)

该式反映了曲线边墙水面线的变化规律，式中α为曲线边墙上任一点处的切线方向与来流流向的夹角，单位为弧度；H为水流比能；h₀为α=0时的水深，一般为来流均匀流水深.

辐射水流的流线与辐射线重合，W点的流向沿WO辐射线，W点又是边壁点，其流向沿边墙的切线方向.对W点应用式(1)得出口断面的水深为

(2)

式中α₀为辐射水流收缩角之半，应用比能不变假定，由该式得出口断面的佛汝德数为:

(3)

由水流连续条件有

RS₀=b₁(2α₀)

(4)

式中RS₀为S₀点的辐射半径.参见图1，S₀WK为辐射水流区域，S₀为辐射水流的起始点，满足辐射水流关系；该点也在扰动线A₀S₀上，其水流参数就是窄缝挑坎来流条件.辐射水流还有基本关系^［２］

R/R₀=[P(Fr)]/[P(Fr₀)]

(5)

式中;R₀,Fr₀为已知点的辐射半径和佛汝德数，本文取已知点为S₀，Fr₀=Fr₁.由该式得出口断面的辐射半径为:

R₂=RS₀[P(Fr₂)]/[P(Fr₁)]

(6)

对辐射水流，文献[3]推导得水面线关系式，即

[C²/(R²h²)]+2h=2H

式中常数，对该式求导得水面倾角关系式

(dh)/dR)=(h/R)[(Fr²)/(1-Fr²)]

(7)

故水舌外缘挑角β₂为

(8)

忽略空气阻力，水舌外缘为自由抛物轨迹线，水舌挑距L₂为^[６]：

(9)

式中a为挑坎底板与下游尾水水面的高差，h₂,Fr₂,β₂由式(2)、(3)、(8)决定，可见L2是α0和a的函数.一般而言，L₂值愈大，对消能防冲也愈有利.现以L₂达极大值L2max为原则计算窄缝挑坎体型，由该式知L₂与a值成单值关系.由于a值与体型无关，它只影响L_2max值的大小，不影响与L_2max对应的α₀值，不妨取a=0，故

(10)

L₂达极大值的α₀解析关系比较复杂，可采用数值方法计算L₂与α₀的数值关系，找出与L_2max对应的α₀值.

2 建立反射扰动线方程

新的冲击波简化式为^[４]

sinθ=1/(Fr)

(11)

式中：Fr为来流佛汝德数；θ为扰动线(或波阵面)与下游边墙的夹角.

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图1 边墙曲线示意

得到所需的α₀值后，就可用式(3)、(4)、(6)算出Fr₂、R_S0,R₂值.见图1，在平面上任意选取一直线作为对称轴，在该轴线上任意给一定点O作为辐射中心，用式(3)、(4)、(6)确定S₀,W点的位置.对任一辐射线，它与对称轴的夹角为α_s，与S₀W扰动线交于S点，通过S点的直线特征线交边墙曲线于A点.曲线边墙可看作边墙连续的微转折^［５］，冲击波简化式可以应用于曲线边墙情况，其微扰动线就是特征线，例如，在A点应用式(11)，Fr为A点的佛汝德数，θ为A点的切线与AS微扰动线的夹角(见图1)；从水力特性方面分析，边墙曲线本身就是一条流线，在其它流线上也可用冲击波简化式进行计算.注意到AS特征线上的水力参数值不变及SO辐射线为流线，对A点、S点应用冲击波简化式即式(11)可知A点的切线与AS特征线的夹角以及SO辐射线与AS特征线的夹角都是sin^-1[1/(Fr_s)]，可见A点的切线与SO辐射线平行，A点的切线与轴线的夹角也是α_S.

在A点，应用冲击波简化积分式得

(12)

用比能不变假定该式可化为

(13)

由式(5)得

0≤as≤ao

(14)

该式为扰动线S₀W的方程，反映了R_S与α_S的关系.式中的RS₀和Fr_S分别由式(4)和式(13)决定.

当α_S=0时，A点与A₀点重合，S点与S₀重合，A₀S₀扰动线也是特征线，应用冲击波简化式即式(11)得该线与轴线的夹角为sin^-1[1/(Fr₁)].故A₀点也是定点.

3 边墙曲线计算方法

直角坐标系见图1，对任一给定的辐射角α_S，用式(13)、(14)可以确定S0W扰动线上S点的佛汝德数及位置，由式(11)计算直线特征线AS与SO辐射线的夹角，这样就可写出AS直线方程.与α_S对应的边壁点A满足两个条件：(1)A点的切线与SO辐射线平行；(2)A点在AS直线特征线上.

参见图2，假定α_S=α_i对应的边壁点A_i已求得，其坐标为(XA_i,YA_i)，给α_S一微增量Δα_S,α_S=α_i+1=α_i+Δα对应的边壁点为A_i+1，需要求解该点的坐标(XA_i+1,YA_i+1).首先对条件1进行简化，在Δα微段内，近似认为α_S是常量，且α_S=α_i+1，这样在微段内条件1可近似表示为

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图2 边墙曲线计算示意

(dy)/(dx)=-tanα_i+1

从A_i点到A_i+1点积分该式得

YA_i+1=YA_i-tanα_i+1(XA_i+1-XA_i)

(15)

A_i+1点应满足条件2，故：

(16)

式中、为已知值，取α_S=α_i+1，由式(13)、(14)算出.

联立式(15)、(16)就得A_i+1点的坐标，即

(17)

这样就可从α_S=0对应的A₀点向α_S=α₀对应的W点逐步递推计算，得到A0W边墙曲线.实际计算中可将α₀角N等分，取Δα=α₀/N，AN点就是W定点的近似点，用这两点的距离控制计算误差.

令

(18)

规定ΔA_N的值，寻求满足误差要求的N值.

4 水面线的计算方法

本文方法可以计算出整个窄缝挑坎内的水流情况，一般情况下对中线和边墙水面线比较关心，在计算边墙曲线的过程中可以计算这两条水面线.按上述方法可以得到辐射角α_S=α_i+1对应的曲线边墙点坐标，将此α_S值代入式(12)就得该点的水深，逐点计算得到边墙水面线；与α_S对应的扰动线上点S的水深h_S及辐射半径R_S用式(12)、(14)计算，辐射水流水深只取决于辐射半径，扰动线上的h_S～R_S关系就是中线水面线关系.中线水面线还可通过求解式(5)得到，不过该方法不如扰动线方法简单.

5 算例

试确定平底窄缝挑坎的平面轮廓.已知：Fr₁=5.5,b₁=0.2m,h₁=0.071m.由比能不变假定得：H=1.145m.假定α₀一值，由式(2)、(3)、(6)及(8)可得h₂,Fr₂,R₂及β₂的值，然后用式(10)算出L₂之值，表1列出几个α₀对应的L₂值.可见α₀=0.2034时L₂值达到极大值.此时h₂=0.173m,Fr₂=3.35,R₂=0.212m,R_S0=0.492m,β₂=41.8°.

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图3 算例体型

A0点的坐标为

W点的坐标为

XW=-R₂cosα₀=-0.2078m, YW=R₂sinα₀=0.0429m.

规定ΔA_N≤0.1mm，假定N值，用式(17)逐步递推得边墙曲线(见图3)，该图中还绘出了用式(14)计算的S₀W扰动线.表2列出N值与ΔA_N的关系，可见随着N值的增加，ΔA_N值随之减小，当N=231时，ΔΑ_N满足要求.

表1 α₀与L₂值的数值关系


α₀	0.1	0.15	0.19	0.2034	0.21	0.25	0.3

L₂/m	1.166	1.754	2.084	2.109	2.103	1.858	1.339

表2 N值与W点的误差关系


N	10	50	100	150	200	231

ΔA_N	10.8	2.55	1.02	0.48	0.21	0.097

在计算边墙曲线过程中，用式(12)、(14)算出中线及边墙水面线，结果绘于图4、图5.

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图4 计算工况中线水面线(单位：cm)

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图5 计算工况边墙水面线(单位：cm)

6 试验验证

为检验对称曲线窄缝挑坎的体型设计方法，对如图3所示的理论体型进行了水力学模型试验，试验中取挑坎底板与下游模拟河床底板的高差a为0.6125m.为使挑坎体型简洁，出口采用直线(图3中的WB直线)，放弃理论要求的弧线(图1中的WK弧线)，由于出口很窄，这样近似处理造成的影响可以忽略.依据是：(1)窄缝挑坎中的水流是急流，出口的近似处理不影响上游水流运动；(2)近似处理对水舌运动略有影响，用式(9)计算水舌挑距L₂，近似体型与严格理论体型的L₂差别只有0.47%，不足1%，这个误差可以略去不计.

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图6计算工况水面外流轨迹(单位：cm)

计算工况试验测得的中线及边墙水面线仍绘于图4、图5中，计算与试验基本一致.算例已计算出挑坎出口的水力参数，利用试验采用的a值及式(9)可算出水舌外缘轨迹线，计算结果及试验测试结果如图6所示，在轨迹线下降过程中，计算曲线与试验曲线之间的距离基本保持一致，约为30cm，是试验挑距(227cm)的13.2%；计算算得的挑距为258cm，比试验值大13.7%.

直线窄缝挑坎是典型的窄缝消能工，进行了一些试验研究，提出了几个水舌挑距计算公式，曾对这些试验公式进行了试验验证^[８]，它们的误差基本一致，约为10%.本文的水舌计算方法是理论方法，未进行试验修正，它的误差也是这个量级，可见这种计算方法基本反映了水舌运动情况.

使窄缝挑坎出口形成辐射水流，假定水舌轮廓为抛物线，以挑距最远为原则，确定辐射角.应用新的冲击波简化式，直接推导曲线反射扰动线方程，得到无需试算迭代的对称曲线窄缝挑坎体型设计方法、水面线及水舌外轮廓的计算方法.验证试验表明：计算结果与试验观测值基本吻合.

7 讨论

为了便于分析，采用二元水力学方法建立理论体型设计方法，严格而言窄缝挑坎是三元水流，理论方法与实际水流有一定的距离，水力学模型试验可以反映这种差距.水力学中，常对理论方法进行试验修正，给出半理论、半经验的计算方法.模型试验表明理论计算结果与试验观测值基本吻合(见图4、图5、图6)，无需对理论方法进行试验修正.

沿窄缝挑坎底板流线写出能量方程.具体方法为：(1)取进口、出口分别为控制断面；(2)进口断面为均匀流；(3)出口流面的压强为零；(4)忽略水头损失；(5)底板为平坡.结果如下

式中v₁,v₂分别为进口、出口的底流速.由该式可见v₂仅取决于来流条件，与挑坎体型无关.若假定水舌内缘为平抛轨迹，则水舌内缘轨迹只与来流条件有关.这个结果已被系列模型试验验证^[８]，它说明挑距最远可以保证水舌纵向拉开宽度最大.

以挑距最远为原则建立理论体型计算方法，主要优点是容易建立比较规范的体型设计方法，成果便于被设计部门接受，或用理论成果指导窄缝挑坎体型设计、模型试验，提高设计或模型试验工作的主动性、预见性.事实上，窄缝挑坎的动水压强、脉动压强、溢洪道的具体条件也是决定体型的主要因素，作者的初步意见是首先按本文方法设计体型，然后按这些因素校核.若满足这些因素的要求，可直接应用理论成果；若不满足这些因素的要求，可在理论体型的基础上适当调整体型，使体型满足各个方面的要求.有关这方面的问题尚待进一步研究.

参考文献

[1]童显武，苏祥林.东江滑雪道式溢洪道窄缝式消能工的试验研究[J].水力发电，1988，(6)：41-44.

[2]CM斯里斯基.高水头水工建筑物的水力计算[M],毛世民，杨立信译.北京：水利电力出版社，1984，3：113-135.

[3]倪汉根，刘韩生.窄缝式消能工收缩段的体型设计[J].水利学报，1999(2)：33-38.

[4]刘韩生，倪汉根.急流冲击波简化式[J].水利学报，1999(6)：61-65.

[5]Ven Te Chow,Open-channelHydraulics[M],McGraw-Hill Book Company,Inc.,1959:448-454.

[6]吴文平，张彦法.窄缝挑流水舌的运动扩散规律及应用[J].水力发电学报，1989,(4)：71-76.

[7]张彦法，吴文平.窄缝挑坎水面线及水舌挑距的试验研究[J].水利学报，1989,(5)：14-21.

[8]刘韩生.窄缝消能工的体型研究[D].大连理工大学，1999，6.

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