(1.清华大学 水电系；2.上海勘测设计研究院)
作者简介：夏军强(1974-)，男，清华大学博士研究生。

1 引言

　　在冲积河道中，河床（包括河岸、滩地和主槽）总是处在不断变化发展之中，其纵向变形和横向变形的程度取决于床沙质来量和水流挟沙力之间，以及河岸抗冲性能和水流冲刷能力之间的对比关系。在河流上修建水利工程后，河床变形将更加明显。

　　如水库在蓄水拦沙期间或非汛期，下泄水流的含沙量很小，下游河道往往发生长距离的冲刷。河道在纵向冲刷下切的同时，通常伴有横向展宽现象。据统计，三门峡水库蓄水运用期间，黄河下游由于受长时间的清水冲刷，造成滩地大量崩塌，其中最严重的是花园口至高村河段，约有200km²的滩地崩塌，滩地的大量崩塌使二滩之间的河槽宽度增加，如花园口至东坝头的二滩宽度由2563m增加到3633m^[1]。此外当水库淤满后，为恢复库容，通常降低坝前水位，采用泄空冲刷的运行方式来排出库区内淤沙。在泄空排沙过程中，库区内的主槽不断冲刷下切，滩槽高差不断加大，导致失稳崩塌，引起河槽宽度增加。由于岸滩的横向冲刷、崩塌，不仅严重影响岸边土地的规划利用、居民的正常生活，而且还危及堤防的安全稳定。因此，模拟河道纵向冲刷过程时，同时模拟冲积河道的横向展宽过程，对水库和护岸工程的规划设计相当重要。但是现有的很多泥沙数学模型，很少模拟河道的横向变形。

　　本文首先分析了冲积河道横向展宽的机理。在建立细沙河流的一维恒定非均匀泥沙数学模型的基础上，引入Osman and Thorne^[2,3]提出的粘性河岸的横向展宽模式，模拟冲积河道在冲刷过程中的横向展宽过程。根据一概化河段的模拟结果，预测不同水沙条件下的库区河道横断面的变化过程，同时分析不同的河岸土体特性对横向展宽和冲刷过程的影响。

2 横向展宽机理

2.1 横向展宽的主要原因

　　一般来讲，冲积河道的横向展宽过程是河岸土体和近岸水流相互作用的结果，即河岸土体的抗冲性和近岸水流的冲刷侵蚀力之间相互作用的结果。除了河岸上植被生长情况、河道内水位变化、渗流、管涌等因素影响河道横向展宽外，但主要是以下两种情况，是导致河道横向展宽的主要原因：(1)通过水流直接横向冲刷导致展宽。当近岸水流切应力大于土体抗冲的切应力时，岸坡上的泥沙颗粒(或团粒)将被水流带走，从而导致河道展宽。(2)通过河岸崩塌导致展宽。对粘性土组成的河岸而言，主要以这种方式展宽，即床面冲刷导致岸高增加，或者水流淘刷河岸坡脚，使岸坡变陡，都会降低稳定性，当土体内部的滑动力大于其抗滑力时，河岸部分土体发生失稳、崩塌导致河宽增加。对于非粘性土组成的岸滩而言，当岸坡坡度超过天然情况下泥沙的水下休止角时，边坡失去稳定，发生滑动。

2.2 影响横向展宽的主要因素

　　影响冲积河道横向展宽的主要因素有：作用于近岸土体上的水流切应力、近岸土体的几何、物理化学特性（包括抗冲的临界切应力、河岸高度等）。

　　对作用于近岸上的水流切应力τ而言，在某一特定的过水断面下，通常为断面平均水流切应力的0.75～0.77倍，但是由于河床冲深，过水断面形态改变。因此上述关系式就不可能存在，因此如果不能较好的估计河岸切应力的分布，可用断面的平均水流切应力代替。

　　对于无粘性土组成的河岸而言，土体以颗粒的状态被冲走，通常河岸土体抗冲的临界切应力τ_c可用泥沙颗粒在斜坡上的起动拖曳力表示。对于粘性土组成的河岸而言，确定τc要比无粘性组成的河岸复杂得多。粘性土的起动不同于较粗的散体泥沙，一般呈团粒、块状冲起或一块一块的剥落，即粘性土以团粒形式起动，破坏时呈块状。因此粘性土抗冲的临界切应力应为细颗粒泥沙成团起动的切应力，而不是单个细泥沙颗粒的起动切应力^[4]。

3 一维泥沙数学模型的建立

3.1 基本方程

　　水流连续方程

　　水流运动方程

　　悬移质不平衡输移方程

　　河床变形方程

式中 Q为流量；A、B为过水面积和河宽；Z、h为断面平均水位、水深；A_sk为第k粒径组泥沙的冲淤变形面积；S_k,S_*k为断面悬移质分组含沙量和分组水流挟沙力；ω_k为第k粒径组泥沙沉速；ρ＇为泥沙干密度，g为重力加速度；α_k为第k粒径组泥沙恢复饱和系数，n为糙率；x、t为距离及时间。

　　为简化计算，采用非耦合解法，即先用二分法解水流方程(1-1)、(1-2)，求出有关水力要素后，再求解(1-3)式，得各断面含沙量。最后用(1-4)式计算河床冲淤面积。

3.2 有关参数的处理

3.2.1 水流挟沙力计算

　　本文采用在黄河上应用较广、考虑因素较全面的张红武挟沙力公式^[5]。该公式通过对二维水流单位水体的能量平衡方程式沿垂线积分，经分析整理得出包括全部悬移质泥沙在内的水流挟沙力公式，即

上式单位均为kg m s制。γ_s、γ_m为泥沙和浑水容重；κ为Karman常数，与含沙量有关；S_V为体积比含沙量；ω_m为非均匀沙的代表沉速；D₅₀为床沙的中值粒径，K、m为参数，一般分别取2.5、0.62。上式不仅适用于一般挟沙水流，而且更适用高含沙紊流，充分考虑含沙量对挟沙能力的影响。经其他人分别开展的验证结果表明，该式计算精度明显优于其它公式。

3.2.2 挟沙力级配计算

　　悬移质分组挟沙力级配是数学模型计算中的关键问题，然而由于天然河道中水沙条件的复杂性，至今仍未得到较好的解决。本文在计算中采用李义天提出的方法^[6]，这种做法是在输沙平衡时，认为第k粒径组泥沙在单位时间内沉降在床面上的总沙量等于冲起的总沙量，然后根据垂线平均含沙量和河底含沙量之间的关系，确定悬沙级配和床沙级配的关系。其特点是同时考虑了水流条件和床沙组成对挟沙力级配的影响。

3.2.3 床沙级配计算

　　为模拟冲刷过程中的床沙粗化现象，本模型将床沙分为两大层，最上层的床沙活动层及其该层以下的分层记忆层。床沙活动层的厚度为H_m，相应的级配为ΔP_bk。分层记忆层可根据实际情况共分n层，各层的厚度及相应的级配分别为ΔH_n、ΔP_nk。在计算中，当各粒径组泥沙发生淤积时，则记忆层数相应增加，即为n+1层，且该层的级配为t时刻的床沙活动层级配ΔP^t_bk。当各粒径组泥沙均发生冲刷时，根据冲刷量的大小，记忆层数相应减少若干层，且级配作相应的调整。

　　已知某断面的各粒径组的冲淤厚度ΔHs_k，及总的冲淤厚度ΔHs，则床沙级配的调整计算，通常可分为以下2种情况计算：

　　(1)总的冲淤厚度ΔHs>0的情况，则床沙活动层的级配可用下式计算

式中 ΔP^t_bk、ΔP_bk^t+Δt分别为第t时刻、t+Δt时刻的床沙活动层的级配。H^t_m、H_m^t+Δt分别为第t时刻、t+Δt时刻的床沙活动层的厚度。

　　(2)总的冲淤厚度ΔHs<0的情况，则床沙活动层的级配可用下式计算

式中 ΔP^t_bk、ΔP_bk^t+Δt、H^t_m、H_m^t+Δt同前面。ΔP_remk为若干个记忆层内的床沙平均级配。

　　对于床沙活动层厚度Hm，既与水流条件有关，又与床沙组成条件有关。随着河床变形和来水来沙条件的影响，床沙活动层的厚度和组成是不断变化的。由于问题的复杂性，目前要从数学上严格定义和表达床沙活动层厚度的公式，还比较困难。尽管已有许多学者对这一问题，进行了研究，给出了一些计算方法^[7]。但这个问题不能考虑过细，一方面缺乏床沙级配沿垂向变化的实测资料；另一方面考虑过细，不一定就能提高精度。故本文采用前人常用的处理方法，取一固定的床沙活动层厚度2m。

3.2.4 恢复饱和系数的取值

　　恢复饱和系数α，反映了悬移质不平衡输沙时，含沙量向水流挟沙力靠近的恢复速度。对于α的取值，既与来水来沙条件有关，也与河床断面形态有关，是一个十分复杂的参数，它在河床变形计算中起着很大的作用。但对如何具体取值，目前还没有统一的规定。尽管不少研究者^[8]认为α的取值应大于1，即认为α为近底含沙量与垂线平均含沙量的比值。当前，许多模型所使用的恢复饱和系数的取值都是经验性的，如韩其为^[9]等人通过实测资料率定计算，南方河流的α在淤积时为0.25，冲刷时为1.0。象黄河这样的细沙多沙河流，由于泥沙的有效沉速比较小，在相同的条件下，淤积时含沙量的沿程衰减过程或冲刷时的含沙量沿程增加过程，要更慢一些。因此黄河上的α应该比南方河流小。

　　如对不同的粒径组采用相同的α值，则河床冲淤强度与泥沙粒径或沉速成正比，当河床处于冲刷状态时，泥沙粒径越粗，河床冲刷量越大；泥沙粒径越细，河床冲刷量越小。结果使河床发生细化现象，这显然与实际情况不符。为此本文在计算中采用韦直林^[10]在黄河下游泥沙数学模型中用的计算方法，即对不同的粒径组泥沙采用不同的α值

式中 ω_k为第k粒径组的泥沙沉速，单位为m/s。

4 河道横向展宽的计算模式

　　为预测冲积河道演变过程中的河宽变化，过去常用的方法多为冲淤平衡方法^[11]，包括许多经验公式、理论和假设。如通过分析、整理和统计天然河流实测资料得出的河床宽深关系式，如张红武的河相关系式^[5]；如各种极值假说，常见的有水流功率最小^[12]、水流能耗率最小^[13]、输沙率最大^[14]等。由于这些方法都是用来预测河道由冲淤不平衡状态到冲淤平衡状态时河宽调整的大小，无法确定河道处于冲淤不平衡情况下的河宽变化。因此本文采用文献^[2,3]提出的横向展宽计算模式，该模式为水动力学 土力学的分析方法，即采用水动力学模型计算河床冲深，用土力学方法分析河岸是否会发生崩塌，主要用于预测粘性土体组成的河岸的横向展宽过程。具体计算过程如下。

4.1 横向冲刷距离

　　在Δt（sec）时间内，粘性河岸被水流横向冲刷后退的距离为

式中 γ_s河岸土体的容重(KN/m³)；ΔB为Δt时间内河岸因水流侧向冲刷而后退的距离(m)；τ为作用在河岸上的水流切应力(N/m²)；τ_c为河岸土体的起动切应力(N/m²)。

4.2 河岸稳定性分析

　　当河床冲深ΔZ，河槽冲宽ΔB后，相应的河岸高度增加，岸坡变陡，河岸稳定性降低，因此本文根据土力学中的边坡稳定性关系，用来计算河岸初次崩塌时临界条件下的河岸高度、破坏面和水平面的夹角β等参数。在河岸稳定性分析中采用如下假定：如河岸土体由粘性沙组成且垂向分布均匀；河岸土体崩塌时的破坏面为斜面，且通过坡脚；在稳定性分析中不考虑其他因素的影响，尽管有些因素在特定情况下对河岸崩塌很重要；此外本文仅考虑河岸坡度大于60度的陡坡稳定情况。

4.2.1 河岸初次崩塌

式中 λ₁=(1-k²)(sinβcosβ-cos²βtgΦ),λ₂=2(1-k)C/(γ_sH₂),λ₃=(sinβcosβtgΦ-sin²β)/tg(i₀)，其中C为河岸土体的凝聚力。

　判断河岸是否发生初次崩塌：若(H₁/H₂)_m<(H₁/H₂)_c，则河岸边坡稳定，H₁不是河岸发生崩塌的临界高度，则进入下一个时段的水沙计算；若(H₁/H₂)_m≈(H₁/H₂)_c，则河岸边坡不稳定，H₁是河岸发生崩塌的临界高度，且同时利用河岸几何形态关系，计算河岸崩塌土体的宽度及单位河长的崩塌体积；若(H₁/H₂)_m>(H₁/H₂)_c，则河岸边坡已发生崩塌，在这种情况下计算得到河床冲刷深度ΔZ，横向冲刷宽度ΔB值偏大，此时可通过减小计算时段步长来调整。

4.2.2 河岸二次崩塌

　若河岸已发生初次崩塌，则假定以后的河岸崩塌方式为平行后退，即以后边坡崩塌时的破坏角度恒为β，见图2。可用上述类似的方法，确定(H₁/H₂)_m，在以后的河岸稳定性分析中，可用下式计算(H₁/H₂)_c，即

式中 ω₁=sinβcosβ-cos²βtgΦ，ω₂=2(1-k)C/(γ_sH₂)。

5 算例及结果分析

　　由于目前缺少冲积河道横向展宽的实测资料，故本文采用一概化的模拟河段，研究冲积河道河槽展宽对冲刷过程的影响，同时在考虑河岸可冲刷的情况下，分析了不同的来水来沙条件及河岸土体特性对河道展宽和河床冲刷过程的影响。

5.1 河道概况

假定有一概化的顺直河段，长100km，河床初始纵比降为=0.0002，床沙中值粒径为0.038mm，河道初始糙率为0.02。河道断面形态为梯形，初始河岸坡度为60°，初始河岸高度为8.0m，河槽宽度为400m。在河段出口段修建有一大坝。由于泥沙大量淤积在库区内，决定降低坝前水位，产生溯源冲刷，以便排出库内淤沙。在排沙过程中，坝前水位保持不变为105.0m，上游来流量为2000.0m³/s，且水中基本不挟带泥沙，即含沙量基本为0。粘性河岸的土体特性：容重γ_s为18KN/m³、内摩擦角Φ为14°、凝聚力C为20KN/m²、河岸土体的起动切应力τ_c为3.0 N/m²。在计算中，把模拟河段划分为100小段，计算时段恒为2天。假定计算初始时刻的全河段的床沙级配相同。

表1 不同河岸类型的河床冲刷过程

Degradation processes of different bank types

　　图4表示进口断面的断面形态随时间的变化过程，从图中可知，由于粘性河岸高度相对较高，坡度较陡，故河岸在横向冲刷及河床纵向下切后，又会在重力作用下发生崩塌，河岸上部分土体由于拉伸裂缝的形成，保持直立状态，河岸下部分沿一斜面滑动，这是因为当河岸发生在初次崩塌后，在随后的失稳破坏中，河岸以平行后退的方式崩塌。此外，从表1中还可以看出，在4个月中，当河岸不可冲刷时，河床总共冲深4.16m，而当河岸可冲刷时，河床仅冲深3.30m，两者相差近1.0m。从冲刷量来看，在4个月中，从河岸冲刷下的泥沙数量为385.8m³/m，为整个断面冲刷量的22%；从河床上冲起的泥沙量为1370.5m³/m，低于河岸不可冲刷的情况。

　　从上述分析来看，在冲积河道可横向展宽的情况下，由两个重要原因可以减缓河道冲刷：一是河槽宽度增大，导致过水面积增大，流速较小，水流挟沙力减小，从而减少对床面的冲刷。二是从河岸冲刷和崩塌下来的泥沙数量部分满足了悬移质水流挟沙力的要求，因而可减少从床面冲起的泥沙数量。此外，还有河床冲刷过程中产生的床沙粗化现象，可引起河道阻力增加，也可减缓对河道的冲刷。如图5表示床沙平均粒径的沿程变化情况。在水库泄空冲刷过程中，经过120天后，床沙有明显粗化现象，尤其在河床冲深较多的库尾段。

5.3 不同来水来沙条件对河道冲刷和横向展宽的影响

　　众说周知，冲积河道的河床演变与上游的来水来沙条件密不可分。上游来水来沙条件的变化，尤其在河岸可冲刷且不稳定的情况下，必然会对下游河床变形产生影响。

　　图6(a)、6(b)分别表示不同来水条件下的河槽展宽距离和河床冲刷深度在120天后的变化情况。当来流流量从2000m³/s增加到3000m³/s时，河道在库尾段展宽距离增加10m多，而坝前段展宽距离增加相对较少。而从河床冲刷深度的沿程变化情况来看，在库尾段冲刷深度增加较少，但在坝前段，河床冲深增加较多。这是因为当流量增加的过程中，在库尾段河岸冲刷量增加较多，部分满足了水流挟沙力的要求，故河床冲深较少；而在坝前段，由于河岸冲刷量增加较少，但流速增加多，即水流挟沙力有较大的增加，所以河床冲刷深度有较大的增加。

　　图7(a)、7(b)分别表示不同来沙条件下的河槽展宽距离和河床冲刷深度在120天后的变化情况。从图中可知，来流含沙量从0kg/m³变化到2kg/m³，沿程各断面的河槽展宽距离基本未变，而河床冲刷深度则有较大的减少，尤其在库尾段。在坝前段，由于流速较小，从上游冲刷下来的含沙量较大，水流挟沙力基本达到饱和，故河床冲刷深度很小，有个别断面出现了淤积情况。因此当上游来沙条件有较小的变化时，对下游河道横向展宽影响较小，而对河床纵向冲刷影响较大，这是因为上游来沙条件变化对下游河道的水流挟沙力的影响最显著，对其它条件影响较小。从图6和图7比较来看，来水条件比来沙条件的变化对河道横向展宽的影响更显著。

5.4 不同类型的河岸土体对河道冲刷和横向展宽的影响

　　从前面的分析可知，对粘性土组成的河岸而言，不同特性的河岸土体对河道的冲刷过程有明显的影响。一般可用以下参数表示粘性河岸的土体特性：τ_c、γ_s、C和Φ。这些参数取值不同，对河岸冲刷量、河槽展宽距离和河床冲刷深度的计算结果都有不同程度的影响。

　　从图8(a)、8(b)来看，当河岸土体的抗冲性能减弱时，即τ_c从3.0N/m²减小到2.5N/m²后，河槽展宽距离在库尾段有明显增加，而在坝前段由于水深大，水流作用在河岸上的切应力小，因而两者增加较少。从河床的冲刷深度来看，河岸抗冲能力减弱，容易受水流横向冲刷，失稳崩塌的泥沙数量增多，因而部分可以弥补从床面冲起的泥沙，故河床冲刷深度反而减小。

　　河岸土体的内摩擦角越大，表示河岸土体的抗剪强度大，稳定性越好，河岸越不易发生失稳崩塌。从图9(a)、9(b)来看，当Φ从14°增加到20°后，河槽展宽距离基本不变，而河岸冲刷深度有一定程度的增加，这是由于从河岸冲刷或崩塌下来的泥沙数量减少的缘故。通过对其它参数的对比分析计算表明，如河岸土体的γ_s、C，在一定范围内变化时，对河岸的冲刷量、河道展宽距离及河床的冲刷深度都没有明显的影响。

6 结语

　　本文把一维泥沙数学模型同河道的横向展宽模式结合，模拟冲积河道冲刷过程中的横向展宽过程，由于影响粘性河岸冲刷、失稳崩塌的因素比较复杂，在采用若干假定的基础上，得到以下结论。

　　1.在河岸可冲刷的条件下，冲积河道的横向展宽可以大大减缓对河床的纵向下切速率。

　　2.不同的来水来沙条件，对河道展宽和河床的冲刷下切影响不同。来水条件对河道的展宽影响较大，而来沙条件对河床冲刷下切的影响较大。

　　3.不同土体特性的粘性河岸对河道横向展宽和河床纵向冲刷的影响不同，尤其是河岸抗冲的临界切应力对两者的影响最大，其它参数如河岸土体容重、内摩擦角及凝聚力等对两者的影响较小。尽管这些参数之间互相联系，但由于τ_c对计算结果影响大，因而必须正确的确定参数τ_c。

4.本文假定河道断面形态为梯形，因而河岸稳定性分析比较简单。而对于天然河道的实际断面形态，不但稳定性分析复杂，而且解决从河岸冲刷下来的泥沙在横向如何分布问题，以及转化为床沙和悬移质的比例问题，都是相当困难的，这些问题都有待于进一步的解决。

参 考 文 献

[1] 赵业安等。黄河下游河道演变基本规律。河南：黄河水利出版社，1998年。

[2] Osman and Thorne, Riverbank stability analysis I: Theory, ASCE, Journal of Hydraulic Engineering, Vol.114, No.2,1988.

[3] Thorne and Osman, Riverbank stability analysis II: Application, ASCE, Journal of Hydraulic Engineering,Vol.114,No.2, 1988.

[4] 韩其为。泥沙起动规律及起动流速。北京：科学出版社，1999年。

[5] 张红武,江恩惠等。黄河高含沙洪水模型的相似律。河南科学技术出版社，1994.

[6] 李义天。冲淤平衡状态下的床沙质级配初探。泥沙研究，1987,(1).

[7] 李义天,胡海明。床沙混合活动层计算方法探讨。泥沙研究，1994,(1).

[8] Zhou Jianjun, Lin Bingnan,one-dimensional mathematical model for suspended sediment by lateral integration, Journal of Hydraulic Engineering,ASCE,Vol.124, No.7,1998

[9] 韩其为。非均匀悬移质不平衡输沙的初步研究。科学通报，1979,(17).

[10] 韦直林，赵良奎，付小平。黄河泥沙数学模型研究。武汉水利电力大学学报，1997,(5).

[11] ASCE task committee on hydraulic, bank mechanics, and modeling of riverbank width adjustment, River width adjustment I:Processes and mechanisms, ASCE, Journal of Hydraulic Engineering, Vol.124, No.9, 1998.

[12] Yang, C.T. and Song,C.C.S. , Theory of minimum rate of energy dissipation, Journal of Hydraulic Div. ASCE, Vol.105, HY(7), 1979.

[13] Chang, H.H., Minimum stream power and River channel Patterns, Journal of Hydrology, No 41, 1979.

[14] Millar and Quick , Stable width and depth of gravel-bed rivers with cohesive banks, ASCE, Journal of Hydraulic Engineering, Vol.124, No.10,1996.