条件概率在推悬比统计分析中的应用

条件概率在推悬比统计分析中的应用*

1 前言

　　在实践中，为解决泥沙工程中的急需，是采用多种途径来估算；其中利用推移质输沙量W_b与悬移质输沙量W_s之比（简称推悬比），来估算推移量，在国内外已被广泛采用。在文献^[1，2]中，曾各自提出过推悬比的计算公式：前者的参数还是来自室内或经验值；后者有两个概率值目前还缺乏可测性，故都在实际使用时，还难于推广。可见，寻求推悬比的变化规律这仍是急待研究解决的一个问题。

　　本文应用概率论理论中的条件频率曲线方法，将相关量由一系列的条件频率曲线来表达，其过程是：以推移质为y，悬移质为x，引入变形函数，λ(x)＝1/x，t＝λy，则t的无条件累积频率曲线，就可以表达以悬移质已知的条件下，相应推移质频率的能变情况。实际应用时，由悬移质频率曲线和t的频率曲线联合使用，即组合频率曲线法。

2 思路和原理

　　通常所说的相关分析，是概率相关，相关点是以一定概率在某一区域内，所得回归线位于点群重心。将推移质y与悬移质x点绘在直角坐标上，点子散布于满图上，不能用一条回归线表示。如将分布区域分成若干小块，通过各小块的重心就可定出各自的相关线。这就形成了以频率P(t)为参数的相关图。它表征着y在x出现条件下的条件频率相关关系，以这种形式出现的t的无条件频率曲线是否就是在x出现下y的条件频率曲线？文献^[4]已经得出肯定的证明。其结论是：在原条件组合频率式中引入变形函数T＝λ(U)V，则(U,V)与(U,T) 的概率密度关系经演算为f(U,V)＝f(U,T)λ(U)＝f(U)ψ(T)λ(U)。式中ψ(T)表示T的概率密度，f(U,V)表示U,V的联合概率密度函数。所以只要引入适当的变形函数，消除原始数值之间的相关系，其组合概率密度就可直接用新变量的概率密度的乘积来表达。下面的实例分析，其过程是符合这个理论的。

3 推悬比统计概率关系分析的程序

　　为了探求这种方法的实用意义，选用了长江新厂站的沙推移质资料作为演习实例，具体程序详细说明如下。

3.1 统计表的制作

　　取新厂站1982年至1985年40次实测资料，以悬移质输沙率（单位t/s）作为x，沙质推移质（单位t/s）为y，计算推悬比t＝y/x统计如表１。

表１长江新厂站沙推悬比
y/x at Xinchang station

序号	P	年.月.日	x	y	t	t按大小排列	p(t)	p(x,t)	p(x,t)	p(x)	y按大小排列
序号	(%)	年.月.日	(t/s)	(t/s)	(t/s)	t按大小排列	(%)		(%)	p(t)	y按大小排列

1	2.4	1984.07.28	88.3	0.709	0.00803	0.08509	63.4	1	2.4	1.5	0.709
2	4.8	1984.07.01	71.7	0.634	0.00884	0.07875	53.7	1	2.4	2.6	0.641
3	7.3	1984.08.15	68.1	0.106	0.00156	0.06126	97.6	3	7.3	7.1	0.634
4	9.8	1984.09.14	66.0	0.341	0.00517	0.06105	85.4	4	9.8	8.4	0.393
5	12.2	1983.08.07	64.6	0.349	0.00540	0.05829	82.9	4	9.8	10.1	0.366
6	14.6	1983.09.17	63.5	0.336	0.00576	0.04661	80.5	5	12.2	11.6	0.356
7	17.1	1985.07.22	62.3	0.393	0.00631	0.03919	75.6	5	12.2	19.9	0.349
8	19.5	1984.07.16	59.8	0.641	0.01072	0.03238	48.8	4	9.8	9.5	0.349
9	22.0	1983.06.29	56.3	0.236	0.00419	0.02528	90.2	8	19.5	19.8	0.336
10	24.4	1982.08.22	47.7	0.21	0.00442	0.02348	87.8	9	22	21.4	0.319
11	26.8	1984.09.06	35.7	0.216	0.00605	0.02301	78.0	9	22	20.9	0.281
12	29.3	1984.06.27	34.7	0.281	0.00810	0.01975	58.5	7	17.1	17.1	0.244
13	31.7	1983.08.13	30.2	0.244	0.00808	0.01806	61.0	8	19.5	19.3	0.236
14	34.1	1983.07.23	27.3	0.208	0.00762	0.01750	65.9	9	22	22.5	0.216
15	36.6	1982.09.17	23.5	0.163	0.00694	0.01548	73.2	11	26.8	26.9	0.211
16	39.0	1984.06.14	23.4	0.319	0.01363	0.01370	41.5	7	17.1	16.2	0.208
17	41.5	1983.09.01	23.2	0.162	0.00698	0.01363	70.7	12	29.3	29.3	0.167
18	43.9	1985.09.26	23.0	0.356	0.01548	0.01168	36.6	7	17.1	16.1	0.163
19	46.3	1982.10.19	19.3	0.0586	0.00304	0.01144	95.1	19	46.3	44	0.162
20	48.8	1985.06.28	19.2	0.336	0.01750	0.01077	34.1	7	17.1	16.6	0.159
21	51.2	1983.06.11	15.4	0.154	0.0100	0.01000	51.2	11	26.8	26.2	0.154
22	53.7	1983.10.21	14.6	0.167	0.01144	0.00884	46.3	10	24.4	24.9	0.136
23	56.1	1982.10.09	12.3	0.0875	0.00711	0.00817	68.3	16	39	38.3	0.123
24	58.5	1983.10.08	10.5	0.0858	0.00817	0.00810	56.2	14	34.1	32.8	0.112
25	61.0	1984.10.11	7.22	0.0989	0.01370	0.00808	39.0	10	24.4	23.8	0.106
26	63.4	1983.05.23	6.92	0.0808	0.01168	0.00803	43.9	12	29.3	27.8	0.0989
27	65.9	1982.11.08	6.80	0.023	0.00338	0.00762	92.9	26	63.4	61.2	0.0987
28	68.3	1983.06.22	6.29	0.159	0.02528	0.00711	22.0	6	14	15	0.0913
29	20.7	1985.11.02	6.20	0.112	0.01806	0.00698	31.7	9	22	22.4	0.0875
30	73.2	1985.04.16	5.91	0.136	0.02301	0.00694	26.8	8	19.5	19.6	0.0858
31	75.6	1983.11.06	3.56	0.0833	0.02340	0.00631	24.4	8	19.5	18.4	0.0833
32	78.0	1984.05.10	2.81	0.0555	0.01975	0.00605	29.3	10	24.4	22.9	0.0808
33	80.5	1983.04.23	2.11	0.123	0.05829	0.00576	12.2	4	9.8	9.8	0.0783
34	82.9	1983.01.12	1.93	0.0625	0.08238	0.00546	19.5	7	17.1	16.2	0.0625
35	85.4	1983.05.14	1.68	0.0786	0.04661	0.00517	14.6	5	12.2	12.5	0.0586
36	87.6	1984.11.22	1.49	0.0913	0.06128	0.00442	7.3	3	7.3	6.4	0.0555
37	90.2	1982.12.24	1.23	0.0482	0.03919	0.00419	17.1	6	14.6	15.4	0.0504
38	92.7	1983.03.19	1.16	0.0987	0.08509	0.00338	2.4	1	2.4	2.2	0.0482
39	95.1	1984.12.16	0.64	0.0584	0.07875	0.00304	4.8	2	4.8	4.6	0.0232
40	97.6	1985.01.30	0.38	0.0232	0.06105	0.00516	9.8	4	9.8	9.6	0.0230
总数				1006.9	8.148

　　表内各栏中的P表示悬移质输沙率及推悬比t的频率，P 的计算用经验频率的数学公式，即P＝m/(n＋1)×100。表内第8列P(t)％, 是第６列的t值对应于第７栏按大小排列的P。例如,第一行６列的t＝0.00803在第７列中找到0.00803对应的序号为26，相应P＝63.4，如此类推。第９列为x、t各自按大小排列的序号之积除以40而得。其余看表自明。

3.2 点绘x、y关系图

　　在普通方格纸上，以推移质输沙率y为纵坐标，悬移质输沙率x为横坐标，作点集图1，图中点子分布很散，但就整体而言，y随x而增的趋势，尚较明显。它们之间就均值而言的关系，如前所述，以回归直线x＝ψ1(X)表示，它通过原点。由表１可算得∑y＝8.148，∑x＝100.93，直线的斜率 K ＝ 8.148/1006.93＝0.008092则x＝0.008092x。而图上y的单位为10kg/s，x的单位为t/s，换算系数为100，所以图上的实际斜率为0.8092。其所以用10kg 作的单位，是根据实际资料的分布情况，使点集散满图上，并使平均回归线的斜率接近于１，便于图上点群分布清晰分明，不使t 的参数线集中于某区。

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图1新厂站推悬比出现频率参数的悬移质输沙率与推移质输沙率关系

图2新厂站悬移质输沙率及相应推悬比粒径频率曲线

y/x accumulated freguency curve at Xinchang station

Relation between bed lood rate and suspended sediment discharge depending on parameter y/x

3.3 统计分析

定出y_x＝0.008092x关系线：由图１，根据前面引述的原理^[4]可以推论，推移质输沙率y的条件均值y_x＝0.008092x 的离差

(1)

由此知，它与x成正比例增长。以x除式(1)有

U/x＝y/x－0.008092＝t－0.008092

(2)

显然，t＝y/x不完全取决于悬移质质输沙率X的值。

3.4 点绘P(t)曲线

　　根据表１的经验�

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