优化是工程设计的最高目标。最优设计就是确定一组设计变量，使得在一定的约束条件下系统性能的某一测度为最优，例如效用作高、成本最低或重量最轻。所谓基于可靠性的系统优化是指以可靠性要求作为基本的约束条件的优化，迄今所做的基于可靠性优化的研究大多属于静态荷载作用的系统，在随机动态荷载作用下系统的最优设计则讨论较少。

一．问题的提法

　　首先考虑设计变量为确定性矢量的情形。以D表示设计矢量，基于可靠性的随机振动系统的优化问题的一般提法如下：

　　寻求最优设计矢量，使得目标函数W（D） (1-1) 在下列约束条件下为最小：

1．可靠性约束

                            （1－2）

                 0≤t≤T，，k＝1，2，……

2．矩约束

                                      （1－3）

                0≤t≤T，，k＝，……

3．动态约束

                                          （1－4）

                0≤t≤T，，k＝，……

4．静态约束

                      k＝，……        （1－5）

5．特征值约束

，      k＝，……n          （1－6）

　　上述各式中，t为时间；u空间坐标；是响应矢量随机场的函数，是确定性或随机的限制；是规定的第k个模式中的“破坏”概率；为规定的约束；与分别是系统特征值的上下界。
　　（1－2）到（1－4）表示施加于系统响应上的概率性与确定性约束，它们必须对[0,T]上的每一时刻与域U中的每一点都满足。考虑到系统的可实现性，必须对系统与元件的尺寸、重量等施加限制，这些限制包含在（1－5）中，不等式（1－6）是对系统特征值（包括固有频率、屈服荷载、颤振速度等）施加的上、下限。在动态系统设计当中，对固有频率的限制特别重要，因为通过适当的限制可避免由于共振引起的大幅响应。在随机振动情形，将固有频率限制在激励谱密度曲线的扁平部分，就可作局部白噪声假定，从而简化响应计算。
　　由于加工、制造过程不可避免的误差，某些待定元件的尺寸将是随机变量。此外，系统的某些非设计参数，如材料常熟，可为随机变量或满变随机过程。系统的静动态性质将依赖于这些随机的设计与非设计参数。在这种情况下，设计矢量应该扩大以包括随机的非设计参数。目标函数（1－1）与确定性约束（1－4）—（1－6）中所含的随机的设计与非设计变量，应代之以它们的均值或均值与协方差的某种组合。

二．基本解法

　　上述基于可靠性的随机振动系统的优化是一个很困难的问题，主要困难在于可靠性约束（1－2）要求确定一般是相关的而且依赖于空间坐标与时间的多个事件的联合概率分布。目前处理上述优化问题的基本方法是，设法消去约束（1－2）—（1－4）之左边对空间与时间的依赖，使之成为下列非线性规划问题：

　　寻求最优设计矢量，使得在约束下，目标函数（1－1）为最小。

                   k＝1，2，……n             （2－1）

　　记事件

                                  （2－2）

                    0≤t≤T，

　　约束（1－2）可表为

              ，  k＝1，2，……           （2－3）

表示系统的第h个元件以第k个损坏模式损坏这一事件。若只考虑该元件在这种损坏模式中的一个最危险部位，则u可代之以确定的坐标值。同时，考虑到损坏概率是时间t的非减函数，最大的损坏概率在t＝T时刻出现，于是可令

                                              （2－4）

　　为精确地确定（2－3）左边联合事件的概率，需知这些事件的联合概率分布，并涉及多重积分的计算。在大多数实际问题中，这种联合概率分布是没有的，即使有，多重积分的求值也是十分艰巨的任务。不过，可以根据这些事件之间的相关性，建立下列关系：

1．若是相互排斥的，则

                              （2－5）

2．若是完全相关的，则

                           （2－6）

3．若是部分相关的，则

                           （2－7）

　　式中

           ，，j＝1，2，……h-1      （2－8）

　　显然

          （2－9）

　　于是，通过不等式（2－9），约束（1－2）左边可用表示，从而消去约束对空间坐标与时间的依赖。

　　为消去约束（1－3）与（1－4）左边对空间坐标与时间的依赖，他们可代之以在时间0≤t≤T与上的上确界，即

     ，k＝，……      （2－10）

与

， k＝，……      （2－11）

　　至此，已将基于可靠性的随机振动优化问题化为标准的非线性规划问题。

　　求解该问题采用罚函数法，它将标准的非线性规划问题转化为一系列无约束最小问题。罚函数法的一般形式是：     （2－12）

　　式中是的某个函数；r为正常数，称为罚参数。上式右边的第二项称为罚项。若对罚参数的一系列值（k＝1，2，……）求解（2－12）的最小问题，其解可收敛于标准的非线性规划问题之解。因此，罚函数法也称为序列非约束最小化技术。

　　对不等式约束罚函数法可分为内部与外部两类。在内部罚函数法中，常取或。而罚参数满足关系。罚函数序列最小化可采用迭代法。

三．小结

　　从以上论述可知，基于可靠性的随机振动优化问题的一般思路就是将其转化为标准的非线性规划问题，具体方法就是设法消去约束条件之左边对空间与时间的依赖，需要注意的是，在消去约束（1－2）对空间与时间的依赖时，需确定，它是第h个元件的临界部位上在第k个损坏模式中T时刻上的损坏概率。
　　如何确定这个概率呢？我们知道，随机振动系统的主要损坏模式是首次穿越破坏与疲劳破坏，此外，还有由于响应花费在某阈值以上的时间所占百分比超过某临界值导致的破坏。目前，首次穿越损坏问题的精确解尚未找到，但有一些近似解法可资利用。在大多数实际问题中，损坏是稀少事件，可用泊松过程模型或其修正，从而可得到首次穿越损坏概率的封闭形式解析解。此外，许多情况下，随机平均法可给出良好的近似解析解。对疲劳问题，我们也得到基于损伤累积理论与断裂力学方法的疲劳寿命与可靠性的解析表达式。至于响应花费在某阈值以上的时间所占百分比，在各态历经假定下，可用响应超过此阈值的概率代之。
　　另外，求解标准非线性规划问题的方法有几种，方法的选择取决于问题的性质与各人的爱好。