1 前言

　　B.B.Mandelbrot在70年代中期至80年代初创立了分形几何理论。分形论的研究对象是自然界和社会活动中广泛存在的无序(无规则)而具有自相似性的系统^[1]。分形理论的创立和发展不仅为地学规律性的发现建立了崭新的数学语言和定量描述，同时亦为地学提供了新思想和新方法，其应用可看作是继数理统计方法、遥感技术、GIS技术之后地学的一次非线性革命。虽然“革命”能否成功，目前尚难定论，但有一点是可以肯定的，那就是，分形论为描述或认识复杂现象或复杂的几何形体指明了方向。

　　流域地貌系统水系的分布具有分形结构，当然其并非严格数学意义上的分形，而是具分形特征的自然分形体。

　　80年代及90年代初，国内外主要开展了对流域地貌系统的地貌特征量间的统计分形研究^〔2，3〕，这些研究深化了R.E.Horton等以物理学方法对水系的形成及演变的研究。近期，在对河道线状分形及河道平面形态分形研究基础上，开始对水系的河网分形进行研究，并初步探讨了水系分形特征与流域地貌发育过程的关系^〔4，5〕。

　　本文在对海滦河流域水系分形几何特征研究基础上，探讨了水系分形地貌的合并原理、水系分维的意义及水系分维与流域地理环境要素的关系。

2 海滦河流域简介

　　海滦河流域位于东经112°～120°、北纬35°～43°之间，流域面积约319029km²，其中山区面积为190640km²。流域平均长度450km，平均宽度700km,为一典型的扇状流域。海河河长为1050km(从浊漳河南源计)。流域内最高峰为五台山的北台顶，海拔3058m。流域内年平均降水深542.9mm(1956～1990年)。海滦河流域包括海河水系和滦河水系。滦河水系由滦河及其以东的七里海、洋河、汤河、石河等河流组成；海河水系由蓟运河、潮白河、北运河、永定河、大清河、子牙河、漳卫南运河、徒骇河、马颊河以及滦河以西的沙河、河、陡河等构成。

3 研究方法及结果

　　研究用图为水利部天津勘测设计院1983年编制的1∶100万海滦河流域图，图中反映内容主要为河道分布。将该图所示河道经数字化仪输入计算机(原图以浅绿色线所表示的人工渠道不包括在内)，然后在地理信息系统环境下，用变换粗视化程度求维数的数盒子法求取水系的盒维数(容量维数)。文中所述的水系分维皆指水系的盒维数。

　　首先计算了海滦河全流域的水系分维，然后把全流域分成若干子区域，又分别计算了其水系分维。计算结果见表1及图1。

4 水系分维的意义

4.1 分形几何揭示了自然分形的无标度性或自相似性，分形体的特征量是分维数，它是对自然界复杂几何形态的一种定量描述。水系分维所能代表或隐含的物理或地质意义一直是人们所关注和研究的课题。一般认为，水系分维反映了河道分布的复杂程度或者说水系的发育程度，似乎河网密度愈大水系分维愈高^〔6〕。河网密度是一个均值的概念，它并不能反映河道在流域内的分布状况。同样水系分维亦不能真正反映区域内所有河道的分布特征。因在水系盒维数测算过程中，尺度为r的小盒子有时包含了河网的一条河道，有时可能包含许多条，而计算过程中均视其为等价。由此而言，水系分维不能完全反映河道分布的不均匀性。若想了解水系内河道分布的不均匀性，只有尽可能将一个水系分形划分成若干个小的分形子集(有限个)，通过水系分形子集的水系分维来了解水系内河道分布的不均匀性及水系发育特征。

4.2 流域地貌系统中各局域分维之间，局域分维与整体分维之间具有相关性，似乎满足一定的运算规则^〔7〕。其中合并原理对自然分形的研究和讨论最为有益。由严格的数学定义出发，设分形集S是两个互不相交的分形子集Sa和Sb的和，两个分形子集的分维分别是Da和Db，且Da>Db，则分形集S的分维为Da^{〔１，８〕}。艾南山、李后强等从分形地貌学及仿酶的研究出发，认为分形集S的分维D介于分形子集分维Da和Db之间(Da>Db)，最大值为Da^〔7，9〕。海滦河流域水系分维计算结果表明，流域地貌系统的河道分布的盒维数似乎服从第一种认识，即取最大值原则。把海滦河流域水系看做一个分形集，而把海河水系与滦河水系、海滦河山区水系与海滦河平原水系看做不同的分形子集；同样海河山区水系与滦河山区水系又可看做是海滦河山区水系分形子集的子集。由表1的计算结果可以看出，水系分维的合并原理服从取最大值原则，即       

　　水系分维的取最大值原则，亦就是某一特定区域(一个分形集)水系的分维反映的是该区域内局部(一个分形子集)的水系分维，或言它是区域内河道最密集区的水系分维，所以说水系分维并不能完全代表这一特定区域(分形集)河道分布的所有特征。当然这并不意味着水系分维是一个无用的参量。此种情形就如同气象学上的温度统计，如每年1～12月，每月均有一个日温度极值，但7月的日温度极值必定大于1月的温度极值，所以说极值亦是可以对比并且是有意义的，并且能够在一定程度上代表其所在区域或统计区间的本质特征。

5 水系分维与地理环境要素的关系

　　水系分维做为反映流域地貌系统河道分布特征的一个参量，它与流域内地理环境要素及其它地貌特征量间必有某种联系。基于水系分维是反映流域内河道分布的复杂程度或河流发育程度的这一认识。水系分维必然与流域内的降雨(P)、蒸发(V)、气温(T)等气象、气候特征水文(H)、坡度(S)、植被覆盖度(G)等地理要素以及构造(F)、岩性(R)等地质特征间有一定联系或者说依赖关系。此外与其相关的就是流域地貌发育历史也就是时间(t)，故而水系分维是上述因子的一个函数

D= f(P,V,T,H,S,G,F,R,t)

　　在流域地貌系统内，对地貌及河流发育影响最大且能最大程度代表上述除时间因子之外的所有地理环境要素的一个特征值就是径流模数(M)——即单位面积上所产生的流量

M= f(P,V,T,H,S,G,F,R)

　　已知世界几个流域的水系分维及其径流模数如表2。

　　水系分维与流域径流模数单因子之间存在较好的正相关关系，相关系数R=0.9，线性相关关系为：D=1.425+0.012 M。

　　上式仅是对水系分维与流域地理环境要素间关系的一个初步认识，其可靠性及适用性将随资料的补充而提高。

6 结语

　　1.海滦河流域的水系分维为1.49，其中海河水系为1.49，滦河水系为1.46。

　　2.对流域地貌系统，各局域水系分维合并以反映全流域水系分维时似乎满足取最大值原则，所以水系分维不能完全反映河道分布的不均匀性，同时为了了解流域水系分形几何特征，给出流域整体的水系分维是不够的，必须考察其局部水系分维。

3.流域的水系分维对流域地理环境要素及流域地貌发育历史有一定的联系或依赖关系，其中水系分维与流域径流模数间存在正线性相关关系。

参 考 文 献

1 林鸿溢，李映雪。分形论—奇异性探索.北京：北京理工大学出版社，1992，P75.

2 Andre Robert and Andre G.Roy. On the fractal interpretation of the mainstream length-drainage area relationship. Water Resources Research, 1990, 26(5):839-842.

3 Renzo Rosso, Baldassare Bacchi and Paolo La Barbera. Fractal relation of main

stream length to catchment area in river networks. Water Resources Research, 1991, 27(3):381-387.

4 Sean P.Breyer and R.Scott Snow. Drainage basin perimeters: a fractal signific

ance. In:R.S.Snow and L.Mayer (Editors), Fractal in Geomorphology. Geomorphology, 1992, 5:143-157.

5 张捷，包浩生。分形理论及其在地貌学中的应用。地理研究，1994，13(3)：104-111.

6 何隆华，赵宏。水系的分形维数及其意义。地理科学，1996，16(2)：124-128.

7 李后强，艾南山。分形地貌学及地貌发育的分形模型。自然杂志，1992，15(7)：516-519.

8 肯尼思·法尔科内着，曾文曲等译。分形几何—数学基础出版社，1991，P58-70.

9 李后强，汪富泉。分形理论及其在分子科学中的应用。北京：科学出版社，1993，P179-189，270-272.

10 高安秀树着，沈步明等译。分数维。北京：地震出版社，1994，P34-36.