即从节点i流出的流量等于与该节点相连的各管段ij流入流量之和；i为节点号，q_ij为i节点与j节点之间管段的流量，j＝1，2，…，n，n为与节点相连的管段数。
    不等式约束条件：

即泵站i的供水量有上下限，式中U为水源供水量。

即要求管网中所有节点的最小自由水头必须大于等于某一常数C，以满足服务质量要求。｛F_p｝为管网节点自由水头的集合。
    目标函数J——供水成本(水费+电费，以元计)的表达式为

式(4)中V_w、V_e分别为水、电的单价，U_i为某泵站的供水量，β为用电量的单位换算系数，(P_i／γ-Z_i)为泵站i送出的压力水头与泵站i吸水池水面标高之差，即泵站的扬程，i＝1，2，3，…，m，为泵站号。
    供水系统优化供水量的目的是在满足约束条件等式(1)、(2)和不等式(3)、(4)的前提下，使式(4)的J值，亦即供水成本最小。这属于有约束条件的非线性规划问题。
    解决供水优化的计算分两步：第一步是管网平差(水力分析)，求出系统状态变量如各管段流量、各节点压力等。第二步是将水源地供水量(U_i)和扬程(P_i/γ-Z_i)代入式(4)，求出目标函数当前值J^(k)。按库恩-塔克(Kuhn-Tucker)的最优必要条件，用拉格朗日乘子法求得供水量增量ΔU_i,得到水源下一步的供水量。
    在迭代过程中，将前后两次求得的J值进行比较，如果J的绝对值不断下降则继续迭代，直到|J^k+1-J^k≤ε₁时停止迭代计算。ε₁为指定误差，本文选ε＝0.005元。这时的水源供水量U^(k+1)_i和(P_i/γ-Z_i)^(k+1)为所求。
1.1    平差——求各管流量、各节点压力  依据公式 Q_i=∑q_ij，每个节点i流量应等于与之所连各管段流量之和q_ij。
    管段ij沿程能量损失公式：

从上式可得：

其中：S_ij为管段ij的水力特性常数。
    平差步骤：
    ① 进行管网平差之前应预先假设各水源供水量，再按式(1)分配各管段流量；
    ② 从式(5)求得各管段压降h_ij；可应用线性理论引入一个变量；C_ij=|q_ij|／|h_ij|将上式代入每个节点的流量平衡式：Q_i=∑q_ij=∑C_ij(P_i-P_j)。如果节点1与节点2，3，4有相连管段，节点2与节点3，5，6有相连管段，节点N-1与节点N，N-2，N-3有相连管段，可写出：

化为：

    ③如果该系统有N个节点，可以组成N-1个方程的线性方程组：[C]·[P]=[Q]，对于P_i,i=1,2,…,n，选择一个已知最小自由水头H_zk的节点k，则P_k/γ=Z_k+H_zk。式中Z_k为节点K的高程。〔C〕可求，〔Q〕已知，用高斯消去法解此方程组，可求得各管段压差；
    ④通过式(6)求出各管段的q_ij值，并代入式(5)，重复步骤②、③，经多次迭代，直到各管都满足时迭代才结束。ε₂为各管流量迭代允许误差。
1.2    供水优化  为了找到供水成本J的最小值，应用拉格朗日乘子法将目标函数扩展为： i=1,2,…,m，m为水源总数。其中，L为向量q、p、λ的函数，也称拉格朗日函数，〔λ^T〕为拉格朗日乘子向量的转置。
    因为根据库恩塔克条件，在满足下式：

时，L取得最小值，即J的最小值，n为节点总数，m为水源总数。L_min(q,p,λ)的最优解，也是J_min(q,p,λ)的最优解。
    因为式(9)，该式通过平差已得到满足。将平差结果q_ij代入式(7)，有，可求出向量λ，把λ代入式(8)，得到的值，,是L对U的梯度向量。按梯度法原理，在某一小范围内取负梯度方向能使函数值下降最快^[3]。由此可求各水源供水量的下一步迭代值：。其中C为控制常数，为加快计算收敛，可以先选较大值，快接近最优解时选小些的值。
    为满足不等式约束条件(2)，应保持在和之间。迭代若干次，将每次求得的J值进行比较，直到|J^(k+1)-J^(k)|≤ε₁成立并且满足如下条件时可认为为所求最优解。

    这时各水源节点供水量为目标函数最优解，也就是泵站应供水量。所得各水源节点的压力减去泵站吸水池水面标高即为对该泵站要求的扬程。在各泵站都配有调速泵的情况下，对泵站内的泵进行适当组合，不难实现与最优解一致的运行状况，在泵站内没有调速泵的情况下，可以通过对运行泵的优化组合，找到实现最接近目标函数最优解的运行方式。

1.3  泵站内水泵的组合优化  一般泵站内有多种类型的泵，每种类型都有各自的特性参数。首先选择泵站内额定扬程符合要求的泵型，将这些泵进行调配组合。可能是同类泵多台并联，也可能是不同类泵组合并联运行。并联泵的特性参数可用最小二乘法拟合求出。将输出流量与优化解接近的组合确定为调度方案。
1.4  一、二级优化之间的协调  确定了各泵站内泵开启的调度方案后，再进行管网平差计算，以求得实际运行时供水费用和管网水力状态参数，如节点压力，管道流量等，检查各节点压力是否满足了管网上各用户要求。如果满足要求，根据各泵站内泵的运行功率，求得供水成本，与前一次计算得出的供水成本比较。用上述的梯度法找出泵站之间供水量的分配，即进行一级优化，然后再进行二级优化，即确定各泵站内泵开启的调度方案，以完成各泵站的供水任务，如此在一、二级之间反复协调，直到求得最优解。

2  计算结果

2.1  泵站运行优化调度  运用本成果按用户需要的供水量和扬程对各泵站实现优化调度，采用优化运行方案将带来显著的经济效益。以北京某石化公司1989年10月份用水情况为例，生产管网和生活管网实行优化调度带来的经济效益可见表1、表2。其中生产管网只统计了8个泵站中的两个：东风泵站和胜利泵站。优化调度后仅该两泵站所节约的电费占生产管网总运行费用(1476.65元/h)的3.68％；生活管网由两个泵站供水，优化调度比原来凭经验操作的人工调度方式所节约的电费占运行电费(82.24元/h)的3.80％。电价按当年0.17元/度计，水价按当年的0.125元/t计。

2.2  调水方案优化  调水方案优化就是为用户提供用水调度的决策咨询，分生产、生活两个方面：

    通过对调水方案进行改造，可以从科学合理的管理中取得显著的经济效益。例如：
2.2.1  生产用水  过去该石化集团的生产供水系统为了重点保证东方红炼油厂的工业用水，将地表水源田村泵站来的水，从配水站西泵房(Δ75.75m)输送到北庄工业泵站(Δ61.0m)，然后在北庄工业泵站将送来的水升压，送到东炼二泵站(Δ195.3m)，由东炼二泵站将水送到炼油厂各用户，见图2。整个生产管网水费加电费总计运行费用是1476.65元/h。经优化计算给出合理的调水技术方案，现在向炼油厂供水的新方案为：从配水站东泵房(Δ76.25m)→东风工业泵房(Δ149.6m)→东炼二泵站(Δ195.3m)。这样整个生产管网运行费用是1458.58元/h，其中总用水量是不变的。节约电费18.07元/h，合15.8万元/年。
2.2.2  生活用水  生活供水系统的两个二级泵站(生活水站：Δ76.0m，北庄生活泵站：Δ61.0m)地势较低，而多数用户地势都高于这两个泵站，最后的一个用户地面标高为Δ120.0m。为了保证所有用户的供水都能满足最小自由水头的要求，必需使整个管网压力升高，两个泵站的电耗主要是消耗在提高水头上。本文改变调水方案为：从东风生活泵站引万佛堂地下水源的水经3km长的原有钢管的迎风生活网供水，供水量与北庄生活泵站的原供水量相同，取代后者，而生活水站的供水量保持不变。由于东风生活泵站地势高(Δ151.3m)，可以自流输水。经计算，这样的供水方案可使最后用户的控制点(Δ120.0m)有3.3m自由水头，这是合乎要求的，这样可节约电费21.55元/h，合18.88万元/a。
    以上为调水方案提供的决策咨询计算结果，都是在没有增加投资、不增添设备的情况下，仅
是采用优化计算得到的泵站调度运行方式或改变供水途径即带来的经济效益。
2.3  对管网的技术改造  由于某种原因需在管网上增减干、支管或改变某些管道的管径甚至增设泵站，通过输入技术改造方案，经过运算可以为改扩建管网提供技术咨询。如按目前用水状况，该石化公司生活供水系统中有些管段的管径过小，由于管径小，增加了沿程水头损失。特别是那些离供水泵站较远、地势又较高的几个用户，为了保证他们的自由水头，不得不将整个管网的水头都提高。为此本文将生活管网末端的两根供水管30^#、40^#的管径作了变动，选择合理管径的方法是文献[4,5]推荐的经济管径计算方式。由原来的Φ0.15m和Φ0.2m，分别改为Φ0.2m和Φ0.25m，这样节约的电费是8.87元/h，合7.77万元/a。一般来讲，调水管网总是有一定的泄漏量的，特别是运行多年的管网。而这个泄漏量与运行压力有关，压力越高，泄漏量越大，降低运行压力可以减少泄漏量，这方面节约的水、电成本没有计算在内。
    综上所述通过泵站优化调度、调水方案的优化以及对管网的技术改造，对比原有的供水状况每年可节约供水成本92.8万元。

3  结语
    《NSMAIN》供水管理系统使用方便，操作灵活(有填表形式输入输出数据的功能和图形显示功能)，为今后利用计算机实时监控供水系统运行打下基础。在实际工程中的运用证明：《NSMAIN》对多源供水系统运行进行优化调度能节约大量水电，其经济效益是显著的；在旧管网改扩建技术咨询工作中，能提供合理的建议，可在不增加投资的情况下，仅对供水系统的输水路径作一些改动，就能节约大量运行成本；可以运行该程序，对多源供水系统进行管网水力分析，及时了解状态变量，为各泵站的调度和改建扩建等决策提供咨询。由于优化了运行调度方式，使管网局部的压力降了下来，减少了泄漏量，也起到节约用水和降低运行成本的作用。
    以上引用的计算实例是20世纪90年代初进行的，当时的水价、电价均比现在低很多(电0.17元/度，水0.125元/t)，如果折合到现在的价格，其效益就更可观了。

参 考 文 献：
[1]李光泉，郑丕谔，仲伟俊.城市供水管网系统的优化调度[J].系统工程学报，1987，(1).
[2]Singh M G，Titli A．System Decomposition，optimisation and Control [M].pegmon press，1978.
[3]解学书．最优化控制理论与应用[M].北京：清华大学出版社，1986，7.
[4]严煦世，赵洪宾．给水管网理和论计算[M].北京：中国建筑工业出版社，1986，12.
[5]杨钦，严煦世，许保玖．给水工程[M]．北京：中国建筑工业出版社，1987，7.

收稿日期：20020116
作者简介：郑大琼(1946-)，女，广东中山人，研究方向：水工水力学。