泥沙起动流速随机特征的初步分析

作者简介：作者简介：林炳尧(1942-)，男，浙江省河口海岸研究所教授级高工。

1 引言

　　河床床面上原处于静止状态的泥沙，所受到的水动力一旦大于维持其静止的力，泥沙颗粒即获得一定的初速，转化成迁移状态，即为起动。起动流速是泥沙的一个水力学特征量，与另一特征量沉降速度的区别是起动流速除泥沙本身的直径、比重、级配、形状等特性而外，还反映河床床面的结构，及泥沙在结构中所处的位置。从物理上讲，床面大致有四种结构：1.直径较均匀，且有一定扁度的泥沙，容易相互搭接，形成排列，甚至是相当稳定的鱼鳞状排列；2.颗粒极细的泥沙，淤积后形成有絮网结构的浮泥；3.浮泥沉积时间足够长后，产生结构应力，形成粘土；4.床面由无序排列的泥沙构成，表层泥沙由其它颗粒所支撑。前三种结构床面上泥沙的“起动”，或是鱼鳞状排列的成片破坏，或是浮泥与清水交界面的Taylar失稳，或是床面上粘土块的剥落。单颗泥沙的起动，事实上只存在于松散的床面。即便这种情况，由于泥沙颗粒在床面上所处的位置不同，其起动流速仍存在随机性。以文献[1]对泥沙起动的力学分析为基础，本文分析松散床面上单颗泥沙起动的随机特征，为单颗泥沙运动随机模拟的一部分。

2 起动流速公式^[1]

泥沙由静止状态，以滚动形式转化为迁移状态的起动流速为

V_b,k1=φf_vb	(1)
式中
	(2)
	(3)

式中参数的意义及计算取值见表1。

　　式(2)、(3)中，仅在φ中存在表征泥沙颗粒所在位置的特征量θ，即颗粒中心与该颗粒与下游颗粒接触点b连线ob与铅垂线og的夹角，(见图1)。一个与θ等价的参数为颗粒最低点a与b点之间的竖向距离Δ。令Δ'=Δ/R,则Δ'=1-cosθ，因Δ'是随机的，所以φ是随机变量。

图1 泥沙颗粒位置参数示意图
Sketch of position parameter for sand pellet

表1 起动流速公式中参数意义及取值
Meanings and applied Values for parmeters in theshold velocity formula

符号	意义	取值

d	粒子直径，d=2R
h	水深
ρ	水的比重	1
ρ_s	粒子比重	2.65
C_X	阻力系数	0.4
C_Y	上举力系数	0.1
α₁	粒子体积系数	π/6
α₃	粒子在与水流垂直平面上投影系数	π/4
α₄	粒子在水平面上的投影系数	π/4
k₂	薄膜水接触面积中单向压力传递所占面积百分比	2.58×10^-3
δ₀	一个水分子厚度	3×10^-10m
δ₁	全部结合水厚度	4×10^-7m
q₀	在h=δ₀时单位面积上的粘着力	1.3×10⁶t/m²
t	颗粒间平均空隙	15×10^-8m
k_s	滚动时的切向力臂与半径之比	1/3
k_n	滚动时的法向力臂与半径之比	1/3

3 φ的分布函数

　　假设Δ'均匀分布，分布函数为

式中Δ'_max及Δ'_min分别为Δ的最大值及最小值。如下层泥沙紧密排列，Δ'应最小，Δ'_min=0.134;如泥沙卡在周围泥沙之中，Δ'应达最大，Δ'_max=1。

　　在φ=f(Δ')及Δ'的分布已知的条件下，即可从Δ=f^-1(Δ')及F_ζ1Δ=pζΔ'求出F_ηφ=p{η≤φ}此即φ的分布函数。可以计算出φ与Δ'关系(图2)，从而得到f^-1(φ)。某一φ值对应的Δ'的分布值，即为该φ值的分布值。由此计算φ的分布函数绘于图3。

图2 φ函数与分布函数F与Δ'的关系
Relation of function φ and distribution function F to Δ'

图3 φ分布函数
Distribution function of φ

4 起动流速的随机模拟

　　采用随机模拟(Monte Carlo)法时，先设计具有给定分布的随机发生器，每次计算利用此发生器产生一个随机数，代入式(3)，得到相应的结果，大量试验后，利用统计方法，即得φ的随机特征。由于Δ'均匀分布，可以利用最简单的均匀分布发生器，取值范围(0，1)。一次试验时

Δ'=Δ'_min+(Δ'_max-Δ'_min)*Randon

(4)

代入到式(3)求出相应的φ值。试验N次后，φ的数学期望值及均方差可表为

	(5)
及
	(6)

预先给定一系列φ_j^c(j=1,2,……m)(φ_min<φ_j^c≤φ_max),统计φ_i小于某φ_j^c的试验次数，即可得到φ的分布函数。

　　如给定允许误差ε，则必需在试验次数不应小于N_c=4D_X/ε²,为分析误差变化规律，定义表征试验误差的指标。

　　图4为一次典型计算的过程中，η与试验次数N的关系，同时点绘了试验统计分布函数与计算值差别随N的变化。可见，收敛开始很快，逐渐变慢，η从0.02下降到了0.01，花600次；从0.01下降到0.004则花了4200次。图3点绘了25次及200次试验得到的分布函数，随次数增加，试验值明显趋于计算值。

图4 试验误差与试验次数关系
Relationship between experimental error and experimental number

　　根据6000次的试验结果，得到φ的数学期望值及均方差为=1.635,σ_φ=0.300。由于Δ'均匀分布，所以=0.567，计算得到=1.6337,两者已极为接近。代入公式(1)，可以得到平均起动流速公式为v_b,k1=1。634f_vb。如果取一个σ_φ，也就是允许±18%的误差，则v_b,k1=(1.334→1.934)f_vb。试验说明约有60%的点子落在此范围以内。

　　根据-σ_φ、、+σ_φ计算出的起动流速与唐存本整理的各家水槽试验资料[2]同绘于图5，可见随机模拟的结果是合理的。

图5 可信度60%时泥沙起动流速的范围(试验点据引自文献[2])
Range of threshold velocity of flow of silt with 60% of creditability

5 讨论

　　本工作有两个目的，一是设计一个起动流速随机发生器，为单颗泥沙运动的随机模拟做准备；二是采用随机模拟方法分析泥沙起动的随机特征。

　　泥沙起动是由静止转化为迁移的临界状态，有较强的随机性。经过6000次试验，约有60%的点子落在±18%的范围以内。这仅仅是由泥沙所处位置带来的起动流速的误差。水槽试验是通过测量水流的速度来确定泥沙起动流速的，即便测量手段完全精确，试验所确定的起动流速尚与观测时间、起动标准有很大关系。所以，起动流速是一个有较大变动范围的参数，在工程实践中，也不应将其看成是一个完全确定的值。

参考文献

[1] 韩其为。泥沙起动规律及起动流速。泥沙研究，1982，(2).

[2] 唐存本。泥沙起动规律。水利学报,1963,(4).

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