基金项目：国家自然科学基金资助(49625101)

作者简介：倪晋仁(1962-)，男，北京大学教授。

1 影响泥沙扩散系数的因素

　　对流体和颗粒脉动速度(v'和v_p')进行傅立叶转换并定义颗粒和流体振幅间的比例，Hjelmfelt和Mockros发现颗粒只受具有较小特征频率涡漩引起的随机力的影响^[57]。颗粒越大，它们响应的频率越小。Murphy和Aguirre以及Lee和Durst在分析紊流中颗粒的频率响应时也采用了同样的方法^[58，59]。从这些研究可以看出，颗粒仅响应特征长度L大于或等于颗粒直径的涡漩，也就是说，颗粒速度的特征频率依赖于涡漩特征频率的某一特殊部分。因此，前文(Ⅰ)中公式(1)中的t_m可以解释为相应于和颗粒具有相同尺寸D的涡漩的特征时间尺度，也就是特征频率的倒数。看来当单独讨论颗粒时，尺寸L＜D的涡漩的作用可以忽略。因此，问题变成了怎样把泥沙扩散系数ε_s和颗粒物理属性关联起来，这正是在以前的研究中最困难的也是被忽略了的方面。

　　为了解释这种耦合和颗粒悬浮机制，Zhou和Ni在对基本的动量方程和连续方程进行系统分析的基础上作了考察[60]。悬浮颗粒对紊流的影响被视为对具有相同深度的等价清水紊流的扰动，并用扰动分析对紊流和悬浮颗粒间的物理过程进行了定量描述，结果从运动方程直接获得了颗粒垂线分布统一公式。对于一级扰动，液相和清水紊流一样遵守雷诺方程；对二级扰动，可以得到一个支配浓度分布的运动方程，它是一级紊流影响的直接结果；并且在二级扰动时可以得到一个控制方程，用以描述浓度对平均速度剖面的影响。分析中扰动参数取为接近床面的参考层y=a处的体积浓度。由于分析中的一些泰勒级数展开只在a＜y＜H范围内有效，所有Zhou和Ni得到的结论都应限制在此范围之内^[60]。

2 两种类型的垂线颗粒浓度分布

　　实测资料表明，颗粒垂线分布最少有两种模式(Ⅰ型和Ⅱ型)，Ⅰ型就是最常见的分布形式，颗粒浓度从流体表面的最小一直增加到床面的最大^[61]；Ⅱ型分布则显示最大浓度值出现在床面的上方。尽管传统的研究都集中在Ⅰ型，但许多实验测量都表明了Ⅱ型分布形式的存在^[62～67]。图4和5列出了Ⅱ型的一些分布形式。关于哪种模式是普遍的，哪种模式是测量错误引起的争论看来已无必要。Ⅱ型已经被普遍接受，只是还有如下问题存在：(1)是什么原因引起含沙水流中存在Ⅰ型或Ⅱ型两种分布形式?(2)怎样描述Ⅱ型的分布?一般说来，影响因素可能包括颗粒属性、流体特征和边界条件。困难是怎样才能把所有这些因素综合进一个合理的理论框架。不幸的是，上述那些基于连续概念的理论几乎没有一个能解释这样的物理过程。此外，Ⅱ型浓度分布也并不是只出现于某些跃移过程和高含沙水流中。事实上，在不同的条件中，Ⅰ型和Ⅱ型都可能找到。两种颗粒浓度垂线分布类型的分类和解释不仅在学术上有很大意义，对于工程上非常关注的泥沙输移率的计算也非常重要。Ⅱ型分布与近壁区的单颗粒运动有很大联系，因此应该有潜在的方法能适当地描述这样的过程。

　　以前的理论和模型大多都建立在连续介质理论的基础上^[68，69]。连续介质理论，正如它定义的那样，要求把许多的颗粒包含在一个微元体中。对液体来说，由于它由小尺度的分子组成，这种假设基本上是合理的。过去，这种理论也广泛用于含沙水流的研究中，这时假设离散的颗粒相仅仅改变连续相的流动特征，这意味着大部分的流体力学相关结果能在稍作修改后直接应用。然而，必须注意的是，如果是尺度较大的离散颗粒，在低浓度固液两相流中存在很少颗粒时，连续介质假定几乎不可能保证合理。此外，连续介质理论也不足以解释稠密固液两相流中颗粒间的相互影响。

　　由于连续介质理论在描述离散颗粒运动方面存在的缺陷，对固液两相流系统又发展了其它的方法。作为一个微观方法，动理学方法被成功地应用于气固两相流的研究，在这里固体颗粒和气体分子是主要考虑的对象。Boltzmann方程描述了颗粒的运动^[8，9，70]，宏观特征可直接从微观信息的统计平均获得^[5]。

　　动理学方法从微观角度着手，考虑颗粒的随机运动(包括气体分子和固体颗粒)。一旦颗粒的速度分布函数被确定，即可获得各方面详尽的信息。一般说来，分子和固体颗粒的主要区别是：(ⅰ)分子有热运动并且它的温度能表征它的动能，而固体颗粒不能自己移动，它们的温度也不代表其动能；(ⅱ)分子是具有相同弹性的球体，在碰撞过程中没有能量损失，而固体颗粒则完全不同；(ⅲ)固体颗粒的尺寸经常比分子大好几个数量级，也就是说颗粒体积的影响必须考虑。

　　含沙水流经常按照单一流体的模式^[71，72]或两种流体的模式^[73，74]进行研究。对实际工程问题单一流体模型比较简单，但在含沙水流中用于描述颗粒和紊流的相互作用不大合适。在双流体模型中，颗粒相被假定为第二种流体，依靠一些闭合模型如颗粒剪应力、离散、动能扩散等辅助求解。从连续介质理论的观点来看，流体和离散的固体颗粒都被视为连续介质，各有其相应的密度。尽管如此，有时很难从稀相流体中的固体颗粒间找到连续介质中流元间所具有的那种密切联系。因此，应该对颗粒相发展更为高级的模型^[21]。一种在描述两相流方面很有潜力的方法是，类比气体分子运动论，基于颗粒运动的速度分布函数求解颗粒浓度分布。这种方法也许能导致精确解的获得，但目前仅限于简单的流动^{[12，75～77]}。

　　固液两相流的动理学方法建立在Boltzmann方程的基础上^[11]。注意到一般的气体运动理论的平衡状态是相应于分子碰撞的统计平均平衡，王光谦和倪晋仁为固液两相流中的颗粒平衡态假设了一个相似的定义，描述了颗粒运动的稳定态以及颗粒和周围流体的相互作用^[11]。对于稀相稳定的固液两相流，颗粒间的碰撞很少发生，可以视其为稳定态。这种环境中，在颗粒运动的稳定条件下，可从Boltzmann方程解得剪切流的颗粒速度分布函数^[11]。通过对固气系统中颗粒运动速度均方值和固液系统中摩阻速度均方值的简单类比，可得到颗粒速度分布函数和相互作用力的关系。由于考虑到颗粒与颗粒碰撞及粒壁碰撞的复杂性，引入综合升力的办法从而推导出颗粒浓度的垂线分布。在不同的受力条件下，Ⅰ型和Ⅱ型分布都可以得到很好的描述。对该理论曾用相关的实测Ⅱ型分布作了专门的比较，此理论以合理的方式给出了当前存在的两种浓度分布类型的机理说明。不同的分布形成主要与流体对颗粒施加的不同升力、颗粒与颗粒的碰撞以及边界条件有关。

　　一般情况下，精确的分子描述将遇到更多的数学困难。因此，数值模拟将成为获得微观信息的主要方法。以往在这方面已经作了一些努力，有人用离散Boltzmann方程的方法直接分析颗粒的悬浮^[78～80]。综合连续介质理论在流体力学中的成功应用和动理论对固体颗粒的详细描述，王光谦和倪晋仁提出对不同相结合连续介质理论和动理学方法来描述固液两相流系统^[12]。这时，数值方法将可能建立在分别对流体和固体颗粒进行欧拉描述和拉格朗日描述的基础上。

　　动理学的其它有潜力的应用是在稠密固液两相流(或高含沙水流)研究方面。这种流体中，颗粒间的碰撞对悬浮颗粒的支持作用比来自流体脉动的支持作用更大。颗粒运动的本质改变不可能通过对稀固液两相流研究结果的简单修正来识别。流体的流变特征将被极大地改变，并且一些非牛顿体的特点必须合理考虑。迄今为止，高浓度固液两相流的研究进程并不令人鼓舞。可以相信，动理学方法的引入将有益于加深对颗粒垂线分布细节的理解。同时也应该注意到，考虑大量颗粒的相互作用也会带来新的困难。

4 结语

　　1.在对含沙水流中悬浮颗粒垂线分布的研究中常常用到传统的连续介质假设和对离散颗粒的类似于气体分子运动的描述。前者成功地应用于流体力学中，但不适于描述颗粒间的相互作用，因为颗粒的尺度比液体分子的尺度大得多。后者恰好适于处理单个颗粒的运动，颗粒间以及相间的相互作用。一个描述固液两相流的有潜力的方法是，液相仍基于连续介质进行描述，而固相则基于动理学方法，只是应合理地考虑两相的相互作用。

　　2.颗粒垂线分布至少有两种典型剖面。Ⅰ型已经被普遍接受并基本上能被一般的理论解释，但Ⅱ型几乎被忽略并且很难由以前的理论作出解释。对Ⅱ型分布的合理描述有赖于对单颗粒运动、颗粒间相互作用以及紊流近壁动力学的充分理解，这对将来的研究有很大意义。

　　3.动理学方法的一个有潜力的应用领域是高浓度固液两相流，在这种流体运动中颗粒之间的相互作用成为主要的机制。

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