基金项目：本项研究得到国家自然科学基金(59479012)和自然科学基金重大项目(59890200)的资助

作者简介：李丹勋(1970-)，男，工学博士清华大学讲师。

1 引言

　　对于细小悬浮颗粒在恒定、均匀、各向同性紊动流场中的运动, 理论分析和试验量测都表明: 颗粒的脉动强度总是小于相应流体的脉动强度，而且随颗粒Stokes数（Stokes数定义为α=ω_e/β,ω_e和β分别是紊动场含能漩涡的特征频率和颗粒的反应频率）的增大，颗粒脉动强度将减小；当α足够大时, 颗粒的脉动强度将趋于零^[1,2]。

　　随着LDV(Laser Doppler Velocimetry)和PIV(Particle Image Velocimetry)技术的发展与应用, 对颗粒在剪切流场中的运动有了较多的实测成果,不少文献中发现了颗粒的脉动强度大于相应流体的脉动强度的现象^[3～6]。Lijegren 通过理论分析表明, 纵向时均流速的垂线分布梯度的存在,使得颗粒纵向脉动强度有可能超过流体脉动强度，而颗粒垂向脉动强度则不受流速梯度的影响^[7〕。

　　本文在Lijegren工作的基础上，考虑了流速梯度引起的Saffman力的影响, 进一步分析了颗粒脉动强度和流体脉动强度之间的关系。结果表明, 由于纵向时均流速垂向分布梯度的作用, 颗粒在两个方向上的脉动强度均可能超过相应的流体脉动强度。

2 颗粒运动方程

　　考虑圆球状单颗粒在二维恒定均匀剪切流场中的运动。当粒径较小时，阻力可用Stokes公式表示。 只考虑颗粒所受的Stokes阻力和垂向的Saffman力^[8], 忽略其它力的作用,则颗粒的运动方程可表示为

式中 D表示颗粒直径，下标f,p分别代表流体和颗粒，U, V分别表示纵向和垂向流速，μ为流体动力粘性系数。, 其中G为纵向时均流的垂线分布梯度:G=d/dy. 为简化分析, 这里取G为常数.

　　将式(1)、(2)整理得

　　其中β=18μ/(D²ρ_p),δ=6δ＇/(πρ_pD³)。

　　按照Lijegren^[7]的方法对式(3)作进一步分析。引入

其中U_f=+u_f,u_f为脉动速度。由式(5)可得

沿颗粒的运动轨迹观察, 有

把式(5)、(6)、(7)代入式(3)得

不考虑体积力, 对细小颗粒有=0。对式(8)取平均可得

式(9)为简单的一阶线性微分方程，其渐近平稳解=0, 即在摆脱初始条件的影响后,有p=f。结合式(5)可知ΔU=u_p, 同时在二维恒定均匀流中有=0, 则式(8)、(4)可分别写为

式(10)、(11)即为用脉动流速表示的简化的颗粒运动方程。

3 颗粒脉动强度分析

　　对普通函数f(t), 只有当收敛时，其Fourier积分才存在。而对随机函数而言, 任一个平稳的随机过程, 虽则当t为无穷大时并不趋于零, 但其具有明确物理意义的Fourier变换仍然是存在的^[9]。定义,对式(10)、(11)进行Fourier变换

整理可得

用 (ω)和(ω)来表示(ω)和(ω)，则由式(14)、(15)可得

记能谱密度:S(ω)=|F(ω)|² , 则由式(16)、(17)分别可得

其中

对能谱密度进行积分,可得脉动速度的均方值。从式(18)～(25)可得

其中

　　颗粒的纵向脉动强度由3项组成：M₁项是颗粒脉动对流体脉动的响应, M₂和M₃两项则是由于流速梯度引起的附加项, 而且流速梯度越大, 二者的作用越明显。易知 M₂>0。在剪切流场中,的符号和流速梯度G的符号相反, 由此从式(22)、(30)知, M₃的符号和(β²-δG)的符号相同, 当(β²-δG)>0时, M₃>0。

　　颗粒垂向的脉动强度也由3项组成：N1项是颗粒脉动对流体脉动的响应, N₂和N₃是流速梯度引起的附加项, 而且流速梯度越大, 二者的作用越明显。易知N₂>0, N₃<0。

　　下面定量考察流速梯度G的影响。记α=ω_e/β,λ=δG/B²(λ>0), 则有

则X_i, Y_i(i=1,2,3)分别可以写为

其中

记/ω_e, 则ω/β=α, 从而有

　　其中:α1=α/(1+),α2=α/(1-),λ≠1。下面的分析只考虑α₂>0, 对于α₂<0的情况, 可得到相同的结论。

　　进一步的分析依赖于对能谱密度具体形式的认识。Lijegren^[7]在其分析中采用如下能谱密度形式

　　u＇为流体的特征脉动速度, 在各向同性流场中, 有u＇²==,ψ为Lagrangian长度积分比尺, 对于X_ii, 有

　　ω_d为截止频率, C₀为常数:C₀=ω_eψ/u＇=3π/[2(2-ω_e/ω_d)]

本文采用同样的能谱密度形式。记

　　把式(39)、(40)代入式(41), 在α₁很小而α₁ω_d/ω_e很大时，可得f(α₁)的近似值

　　同理在α₂很小而α₂ω_d/ω_e很大时, 可得f(α₂)的近似值为

　　由以上的分析可得

　　同理可得

　　由此可得

　　从式(47)可知, 当下式成立时

颗粒的纵向脉动强度将大于相应的流体的脉动强度。同时也可以看到，在不存在流速梯度时(G=0,λ=0)有：/=1-π/4α+O(α²),即颗粒的脉动强度将小于流体的脉动强度。可见流速梯度对颗粒的纵向脉动强度有着直接而重要的影响。

　　对于颗粒的垂向脉动强度, 按同样的分析方法,可得

从而有

　　在λ<1时，有1/(1-λ)²>1，所以在α较小时，总有可能使得(52)式的值大于1，即颗粒的垂向脉动强度大于流体的垂向脉动强度。由上式也可知，在不存在流速梯度时(δ=0,λ=0)有：/=1-π/4α+O(α²),即颗粒的垂向脉动强度总是小于流体的脉动强度。可见流速梯度对颗粒的垂向脉动强度大小也有着直接而重要的影响。

　　由以上分析可知，由于流速梯度的作用，颗粒脉动强度有可能超过流体的脉动强度, 下面给出一个具体的算例。假定流场中含能涡旋的特征频率在100HZ以下, 表征紊动涡旋尺度的Komogorov比尺约为0.1mm的量级。对于0.01～0.1mm的细小轻质塑料圆球颗粒(容重为1.056), 取ω_e=50HZ, 颗粒的脉动强度和流体脉动强度的关系如图1。

　　从图1可以看出, 对于极细小的颗粒(D<0.01mm), 无论在何种流场中, 其脉动强度和流体基本相同; 对于粒径和紊动尺度相当的颗粒(D≈0.1mm), 若流速梯度不存在,其脉动强度将小于流体的脉动强度; 而在强剪切流场中, 其脉动强度明显超过流体的脉动强度。

4 结论

　　从简化的颗粒运动方程出发, 分析了颗粒脉动强度和流体的脉动强度之间的关系。结果表明, 由于纵向时均流速的垂线分布梯度的作用, 颗粒在两个方向上的脉动强度均可能超过相应的流体脉动强度。

　　在实际水槽流动中，由于流速梯度沿水深存在变化, 而且床壁附近颗粒与边界及颗粒与颗粒之间的碰撞频繁，因此对明槽悬移质的脉动强度还需要进一步的深入研究。本文的分析中引入了一些简化和假定, 得到的结论也只有在粒径较小时才有合理性,不能简单地类推至粒径较大的颗粒。

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